Question

在四边形ABCD中，A、B为定点，C、D为动点，AB=，BC=CD=AD=1，若△ADB与△BCD的面积分别为S和T．
（1）求S²+T²的最大值；
（2）当S²+T²取最大值时，求∠BCD的值．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：解三角形

分析：（1）法1：设∠BCD=θ，根据三角形的边角关系，求出△ADB与△BCD的面积分别为S和T，即可求S²+T²的最大值；
    法2：设BD=2x，建立以x为变量的函数关系，求出△ADB与△BCD的面积分别为S和T，即可求S²+T²的最大值
（2）法1：当S²+T²取最大值时，即可确定∠BCD的值．
     法2：当S²+T²取最大值时，求出对应的x的值，利用余弦定理即可求出∠BCD的值．

解答： 解法一：（1）设∠BCD=θ，则0＜θ＜π，
而T2=(

1

2

×1×1×sinθ)2=

1

4

sin2θ，
在△BCD中，BD²=2-2cosθ，
在△ABD中，cosA=

1+3-2+2cosθ

2×1× 3

=

1+cosθ

3

，
∴S2=(

1

2

×1×

3

×sinA)2=

3

4

sin2A=

3

4

(1-cos2A)=

2-cos2θ-2cosθ

4

，
∴S2+T2=

2-cos2θ-2cosθ

4

+

sin2θ

4

=

-2cos2θ-2cosθ+3

4

=-

1

2

(cosθ+

1

2

)2+

7

8

，
∴当cosθ=-

1

2

时，S²+T²有最大值

7

8

．
（2）由 （1）知，S²+T²有最大值

7

8

时，θ=

2

3

π，即∠BCD=

2π

3

，
解法二：令BD=2x，则

3

-1＜2x＜2，∴x∈(

3 -1

2

，1)，
∴cosA=

4-4x2

2 3

，sin2A=1-cos2A=1-

16(1-x2)2

12

，
过C作CE⊥BD交BD于E，CE=

1-x2

，
∴S²+T²=(

1

2

×1×1×sinθ)2+(

1

2

×2x×

1-x2

)2=

3

4

[1-

4

3

(1-x2)2]+x2(1-x2)=

3

4

-(1-x2)2+x2(1-x2)=-2x4+3x2-

1

4

=-2(x2-

3

4

)2+

7

8

…（7分）
∵x2∈(

4-2 3

4

，1)，
∴当x2=

3

4

时，S²+T²有最大值

7

8

．      
（2）在△BCD中，BD=

3

，cos∠BCD=

1+1-3

2×1×1

=-

1

2

，
∴∠BCD=

2π

3

．

点评：本题主要考查解三角形的应用，分别建立以角和边长为变量的函数关系，求出对应的面积是解决本题的关键．