Question

17．设空间两个单位向量$\overrightarrow{OA}$=（m，n，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，n，p）与向量$\overrightarrow{OC}$=（1，1，1）的夹角都等于$\frac{π}{4}$，则cos∠AOB=（　　）

• A． $\frac{2-\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
• C． $\frac{2±\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{2}±\sqrt{6}}{4}$

Answer 1

分析 由已知得$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$=m+n=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，由$\overrightarrow{OA}$为单位向量，得m²+n²=1，由此能求出n²，mh 两个单位向量$\overrightarrow{OA}$=（m，n，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，n，p），得cos∠AOB=n²，由此能求出结果．

解答 解：∵空间两个单位向量$\overrightarrow{OA}$=（m，n，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，n，p）与向量$\overrightarrow{OC}$=（1，1，1）的夹角都等于$\frac{π}{4}$，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{π}{4}$，|$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$=|$\overrightarrow{OC}$|•|$\overrightarrow{OA}$|•cos∠AOC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
又$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$=m+n，∴m+n=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，①
又$\overrightarrow{OA}$为单位向量，∴m²+n²=1，②
联立①②，得$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}}\\{{n}^{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}}\\{{n}^{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$，
∵两个单位向量$\overrightarrow{OA}$=（m，n，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，n，p），
∴cos∠AOB=n²=$\frac{2±\sqrt{3}}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意单位向量、向量夹角余弦值的坐标运算等知识点的合理运用．