Question

7．判断以$A（{4，1+\sqrt{2}}），B（{1，5+\sqrt{2}}），C（{-3，2+\sqrt{2}}）D（{0，-2+\sqrt{2}}）$为顶点的四边形的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 根据向量的坐标运算得到$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，即可得到四边形ABCD是平行四边形，再求出$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，且|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BD}$|，平行四边形ABCD是正方形．

解答 解：∵$A（{4，1+\sqrt{2}}），B（{1，5+\sqrt{2}}），C（{-3，2+\sqrt{2}}）D（{0，-2+\sqrt{2}}）$，
∴$\overrightarrow{AB}$=（-3，4），$\overrightarrow{DC}$=（-3，4），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{DC}$，且|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∵$\overrightarrow{AC}$=（-7，1），$\overrightarrow{BD}$=（-1，-7），
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=7-7=0，
∴$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，且|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BD}$|，
∴平行四边形ABCD是正方形．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示，也考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．