Question

5．给出下列五个命题：
①函数$y=2sin（2x-\frac{π}{3}）$的一条对称轴是x=$\frac{5π}{12}$；
②函数y=tanx的图象关于点（$\frac{π}{2}$，0）对称；
③正弦函数在第一象限为增函数；
④若$sin（2{x_1}-\frac{π}{4}）=sin（2{x_2}-\frac{π}{4}）$，则x₁-x₂=kπ，其中k∈Z；
⑤函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围为（1，3）．
以上五个命题中正确的有①②（填写所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 ①计算2sin（2×$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{3}$）是否为最值±2进行判断；②根据正切函数的性质判断；③根据正弦函数的图象判断；④由$sin（2{x_1}-\frac{π}{4}）=sin（2{x_2}-\frac{π}{4}）$得2x₁-$\frac{π}{4}$和2x₂-$\frac{π}{4}$关于对称轴对称或相差周期的整数倍；⑤作出函数图象，借助图象判断．

解答 解：当x=$\frac{5π}{12}$时，sin（2x-$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{π}{2}$=1，∴①正确；
当x=$\frac{π}{2}$时，tanx无意义，∴②正确；
当x＞0时，y=sinx的图象为“波浪形“曲线，故③错误；
若$sin（2{x_1}-\frac{π}{4}）=sin（2{x_2}-\frac{π}{4}）$，则2x₁-$\frac{π}{4}$=2x₂-$\frac{π}{4}$+2kπ或2x₁-$\frac{π}{4}$+（2x₂-$\frac{π}{4}$）=2（$\frac{π}{2}+kπ$）=π+2kπ，
∴x₁-x₂=kπ或x₁+x₂=$\frac{3π}{4}$+kπ，k∈Z．故④错误．
作出f（x）=sinx+2|sinx|在[0，2π]上的函数图象，如图所示：
则f（x）在[0，π]上过原点得切线为y=3x，设f（x）在[π，2π]上过原点得切线为y=k₁x，
有图象可知当k₁＜k＜3时，直线y=kx与f（x）有2个不同交点，
∵y=sinx在[0，π]上过原点得切线为y=x，∴k₁＜1，故⑤不正确．
故答案为：①②．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质，熟练掌握三角函数的性质是解题关键，属于基础题．