Question

8．设f（x）=mx²+（m+4）x+3．
（1）试确定m的值，使得f（x）有两个零点，且f（x）的两个零点的差的绝对值最小，并求出这个最小值；
（2）若m=-1时，在[0，λ]（λ为正常数）上存在x使f（x）-a＞0成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）为二次函数，令△＞0得出m的取值范围，根据根与系数得关系用m表示两根的绝对值，求出新函数的最小值即可．
（2）求出f（x）在[0，λ]上的最大值f_max（x），则a＜f_max（x）．

解答 解：（1）∵f（x）有两个零点，∴$\left\{\begin{array}{l}{m≠0}\\{（m+4）^{2}-12m＞0}\end{array}\right.$，解得m≠0．
设f（x）的两个零点为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{m+4}{m}$，x₁x₂=$\frac{3}{m}$．
∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（$\frac{m+4}{m}$）²-$\frac{12}{m}$=$\frac{16}{{m}^{2}}$-$\frac{4}{m}$+1=16（$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{3}{4}$．
∴当m=8时，∴|x₁-x₂|²取得最小值$\frac{3}{4}$．∴|x₁-x₂|的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）当m=-1时，f（x）=-x²+3x+3，f（x）的对称轴为x=$\frac{3}{2}$．
①若0$＜λ＜\frac{3}{2}$，则f_max（x）=f（λ）=-λ²+3λ+3，
②若$λ≥\frac{3}{2}$，则f_max（x）=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{21}{4}$．
∵在[0，λ]（λ为正常数）上存在x使f（x）-a＞0成立，∴a＜f_max（x）．
综上，当0$＜λ＜\frac{3}{2}$时，a的取值范围是（-∞，-λ²+3λ+3）；
当$λ≥\frac{3}{2}$时，a的取值范围是（-∞，$\frac{21}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的零点个数与系数的关系，二次函数的单调性与最值，属于中档题．