Question

设S=

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+…+

1+ 1 20132 + 1 20142

，则不大于S的最大整数为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和法求出S=

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+…+

1+ 1 20132 + 1 20142

=2013+1-

1

2014

，由此能求出不大于S的最大整数为2013．

解答： 解：∵

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+n2+(n+1)2

n(n+1)

=

(1+n+n2)2

n(n+1)

=

1+n+n2

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，
∴S=

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+…+

1+ 1 20132 + 1 20142

=1+

1

1

-

1

2

+1+

1

2

-

1

3

+…+1+

1

2013

-

1

2014

=2013+1-

1

2014

，
∴不大于S的最大整数为2013．
故答案为：2013．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．