Question

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²+bx+2．
（Ⅰ）若不等式f（x）＞0的解集是{x|-

1

2

＜x＜

1

3

}，求a，b的值；
（Ⅱ）当b=-1时，若不等式f（x）＜0解集为Φ，求a的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由于不等式f（x）＞0的解集是{x|-

1

2

＜x＜

1

3

}，可知：-

1

2

，

1

3

是一元二次方程ax²+bx+2=0的两个实数根，且a＜0．利用根与系数的关系即可得出．
（Ⅱ）当b=-1时，由于不等式f（x）＜0解集为Φ．可得

a＞0 △≤0

，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵不等式f（x）＞0的解集是{x|-

1

2

＜x＜

1

3

}，
∴-

1

2

，

1

3

是一元二次方程ax²+bx+2=0的两个实数根，且a＜0．
可得

a＜0 - 1 2 + 1 3 =- b a - 1 2 × 1 3 = 2 a

⇒

a=-12 b=-2

，
（Ⅱ）当b=-1时，由于不等式f（x）＜0解集为Φ．
可得

a＞0 1-8a≤0

⇒a≥

1

8

．

点评：本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、根与系数的关系，属于基础题．