题目内容
已知函数f（x）=ax3-（a-2）x+4，当x=1时函数取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
考点：利用导数研究函数的极值
专题：导数的概念及应用
分析：（1）由f′（x）=3ax2-a+2，利用导数的性质能求出a=-1．
（2）由（1）得f′（x）=-3x2+3，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（-∞，-1），（1，+∞）．
（2）由（1）得f′（x）=-3x2+3，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（-∞，-1），（1，+∞）．
解答：
解：（1）∵f（x）=ax3-（a-2）x+4，
∴f′（x）=3ax2-a+2，
∵当x=1时函数取得极值，
∴f′（1）=3a-a+2=0，
解得a=-1．
（2）由（1）得f′（x）=-3x2+3，
由f′（x）＞0，得-1＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＜-1或x＞1．
∴函数f（x）的单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（-∞，-1），（1，+∞）．
∴f′（x）=3ax2-a+2，
∵当x=1时函数取得极值，
∴f′（1）=3a-a+2=0，
解得a=-1．
（2）由（1）得f′（x）=-3x2+3，
由f′（x）＞0，得-1＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＜-1或x＞1．
∴函数f（x）的单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（-∞，-1），（1，+∞）．
点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
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