Question

已知函数f（x）=-x²+|x|+3
（1）作出函数f（x）的图象；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）判断关于x的方程-x²+2|x|+3=a的解的个数．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）去绝对值得到f（x）=

-x2+x+3=-(x- 1 2 )2+ 13 4 x≥0 -x2-x+3=-(x+ 1 2 )2+ 13 4 x＜0

，根据解析式可看出，每段函数的对称轴，定点，及与y轴交点，根据这几个值即可画出函数图象；
（2）通过函数图象就能比较清楚的看出单调区间；
（3）关于方程解的个数就是函数y=-x²+2|x|+3与函数y=a交点的个数，所以根据（1）画图的方法，画出函数图象即可判断原方程解的个数．

解答： 解：（1）f（x）=

-x2+x+3=-(x- 1 2 )2+ 13 4 x≥0 -x2-x+3=-(x+ 1 2 )2+ 13 4 x＜0

；
∴该函数的图象如下：
（2）由图象可看出函数f（x）的单调区间为：
单调增区间是：（-∞，-

1

2

），[0，

1

2

]；单调递减区间为：[-

1

2

，0)，(

1

2

，+∞)；
（3）方程-x²+2|x|+3=a的解的个数就是函数y=-x²+2|x|+3与y=a交点的个数，y=

-x2+2x+3=-(x-1)2+4 x≥0 -x2-2x+3=-(x+1)2+4 x＜0

，分别作这两个函数的图象如下：
由图象可以看出，当a=3时，图象有3个交点，原方程有3个解；当3＜a＜4时，原方程有4个解；a=4，或a＜3时，原方程有两个解．

点评：考查含绝对值的函数的图象的画法，分段函数图象的画法，二次函数图象的画法，由图象得到单调区间的方法，方程的解，和函数图象的交点的关系．