Question

已知函数f（x）=mx+

1

x

，且f（1）=2．
（1）求m；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（1）=2，代入解出即可；（2）根据定义进行判断即可；（3）x₁、x₂是（1，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）＜0，从而得出答案．

解答： 解：（1）∵f（1）=2，∴m+1=2，解得：m=1；
（2）f（x）=x+

1

x

，f（-x）=-x-

1

x

=-f（x），∴f（x）是奇函数；
（3）设x₁、x₂是（1，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=x₁+

1

x1

-（x₂+

1

x2

）
=x₁-x₂+（

1

x1

-

1

x2

）
=x₁-x₂-

x1-x2

x1x2

=（x₁-x₂）

x1x2-1

x1x2

，
当1＜x₁＜x₂时，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，
从而f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）=

1

x

+x在（1，+∞）上为增函数．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的奇偶性问题，是一道中档题．