Question

已知点A₁（0，

2

），B₁（

6

，0），M（2，1），直线l：x=

4

3

6

，若曲线C上的动点P到点B₁的距离等于P到直线l的距离的a倍且曲线C过点A₁．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设平行于OM（O为坐标原点）的直线l₁在y轴上的截距为m（m≠0），且l₁交曲线C于两点A、B．
（ⅰ）求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形；
（ⅱ）若点A、B均位于y轴的右侧，求直线MA的斜率k₁的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据曲线C上的动点P到点B₁的距离等于P到直线l的距离的a倍且曲线C过点A₁，可得点P的轨迹是椭圆，
即可得出结论；
（Ⅱ）（ⅰ）l：y=

1

2

x+m，将式子代入椭圆C得：x²+2mx+2m²-4=0，设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，欲证明直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．只需证明：k₁+k₂=0即可．
（ⅱ）根据点A、B均位于y轴的右侧，确定m的范围，取特殊位置求斜率，即可求直线MA的斜率k₁的取值范围．

解答： （Ⅰ）解：∵曲线C上的动点P到点B₁的距离等于P到直线l的距离的a倍且曲线C过点A₁，
∴点P的轨迹是椭圆，
∵A₁（0，

2

），直线l：x=

4

3

6

，
∴b=

2

，

a2

c

=

4

3

6

，
∴a=2

2

，
∴曲线C的方程

x2

8

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设l：y=

1

2

x+m，
将式子代入椭圆C得：x²+2mx+2m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4，
设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，
则k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=0，
故直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．
（ⅱ）∵点A、B均位于y轴的右侧，
∴x₁+x₂=-2m＞0，x₁x₂=2m²-4＞0，△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
∴-2＜m＜-

2

，
m=-2时，直线与椭圆相切，此时切点为P（2，-1），直线MP斜率不存在，
m=-

2

时，该点为椭圆的下顶点D，此时直线MD的斜率为

1+ 2

2

，
∴直线MA的斜率k₁的取值范围为（

1+ 2

2

，+∞）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形是等腰三角形的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆的位置关系的灵活运用．