题目内容
已知函数y=f（x）对于任意正实数x，y有f（xy）=f（x）f（y），且x＞1时，f（x）＜1，f（2）=
（1）求证：f（x）＞0；
（2）求证：y=f（x）在（0，+∞）为单调减函数．
| 1 |
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（1）求证：f（x）＞0；
（2）求证：y=f（x）在（0，+∞）为单调减函数．
考点：抽象函数及其应用
专题：证明题,函数的性质及应用
分析：（1）可将x，y都换为
即得f（x）=f（
）f（
），由于f（2）=
，故f（x）＞0成立；
（2）可令0＜x1＜x2，则
＞1，根据x＞1时，f（x）＜1，得f（
）＜1，再根据f（xy）=f（x）f（y），得到f（x1）＞f（x2），然后由单调性的定义即可证到．
| x |
| x |
| x |
| 1 |
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（2）可令0＜x1＜x2，则
| x2 |
| x1 |
| x2 |
| x1 |
解答：
（1）证明：∵任意正实数x，y有f（xy）=f（x）f（y），
∴将x，y均换为
，有f（
•
）=f（
）f（
），
即f（x）=f2（
）≥0，但f（2）=
，
∴f（x）＞0；
（2）证明：令0＜x1＜x2，则
＞1，
∵x＞1时，f（x）＜1，
∴f（
）＜1，
∵任意正实数x，y有f（xy）=f（x）f（y），
即f（x）=
，
∴f（
）=
，
∴f（x2）＜f（x1），
∴y=f（x）在（0，+∞）为单调减函数．
∴将x，y均换为
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
即f（x）=f2（
| x |
| 1 |
| 9 |
∴f（x）＞0；
（2）证明：令0＜x1＜x2，则
| x2 |
| x1 |
∵x＞1时，f（x）＜1，
∴f（
| x2 |
| x1 |
∵任意正实数x，y有f（xy）=f（x）f（y），
即f（x）=
| f(xy) |
| f(y) |
∴f（
| x2 |
| x1 |
| f(x2) |
| f(x1) |
∴f（x2）＜f（x1），
∴y=f（x）在（0，+∞）为单调减函数．
点评：本题主要考查抽象函数及应用，解决抽象函数常用方法：赋值法，注意准确赋值是解题的关键，同时考查证明函数的单调性的方法：定义法，注意条件的反复运用．
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，则cos2（
+
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