Question

已知点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是-

1

4

，记动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设Q是曲线C上的动点，直线AQ，BQ分别交直线l：x=4于点M，N，线段MN的中点为D，求直线QB与直线BD的斜率之积的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记直线BM与AN的交点为T，试探究点T与曲线C的位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出点P的坐标，表示出直线AM、BM的斜率，求出它们的斜率之积，利用斜率之积是-

1

4

，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点M的轨迹方程；
（2）直线AQ的方程为y=k（x+2），令x=4，则得M的坐标，直线BQ的方程为y=-

1

4k

（x-2），令x=4，则得N的坐标，可得D的坐标，求直线QB与直线BD的斜率之积，即可求出其取值范围；
（3）由（2）得，M（4，6k），N（4，-

1

2k

），利用直线BM与AN的斜率之积是-

1

4

，可得结论．

解答： 解：（1）设P（x，y），因为A（-2，0），B（2，0）
∴由已知，

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

（x≠±2）
化简，得

x2

4

+y2=1（x≠±2）．…（4分）
（2）设直线AQ的斜率为k（k≠0），则由题可得直线BQ的斜率为-

1

4k

，
∴直线AQ的方程为y=k（x+2），令x=4，则得M（4，6k），
直线BQ的方程为y=-

1

4k

（x-2），令x=4，则得N（4，-

1

2k

），
∴D（4，3k-

1

4k

），
∴k_BD=

3k- 1 4k

4-2

=

3k

2

-

1

8k

…（8分）
故k_BDk_QB=（

3k

2

-

1

8k

）×（-

1

4k

）=-

3

8

+

1

32k2

＞-

3

8

，
∴直线QB与直线BD的斜率之积的取值范围为（-

3

8

，+∞）…（10分）
（3）由（2）得，M（4，6k），N（4，-

1

2k

），
∴k_BM•k_AN=

6k-0

4-2

•

- 1 2k -0

4+2

=-

1

4

…（12分）
∴点T在曲线C上．…（14分）

点评：本题重点考查轨迹方程的求解，解题的关键是正确表示出直线AM、BM的斜率，利用条件建立方程．