题目内容
四棱锥P-ABCD的底面为棱形，且∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，AB=2a，PA=2| 3 |
（1）求直线DE与平面PAC所成角的大小；
（2）求二面角E-AD-C的余弦值．
考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面所成的角
专题：空间角
分析：（1）以A为原点，AB为x轴，ABCD平面内垂直过点A且垂直AB的直线为y轴，AP为z轴，建立空直角坐标系，利用向量法能求出直线DE与平面PAC所成角的大小．
（2）分别求出平面EAD的法向量和平面ADC的法向量，利用向量法能求出二面角E-AD-C的余弦值．
（2）分别求出平面EAD的法向量和平面ADC的法向量，利用向量法能求出二面角E-AD-C的余弦值．
解答：
解：（1）如图，以A为原点，AB为x轴，
ABCD平面内垂直过点A且垂直AB的直线为y轴，AP为z轴，
建立空直角坐标系，
∵四棱锥P-ABCD的底面为棱形，且∠DAB=60°，
PA⊥底面ABCD，AB=2a，PA=2
a，E为PC的中点，
∴D（a，
a，0），P（0，0，2
a），C（3a，
a，0），
E（
a，
a，
a），A（0，0，0），
∴
=(
，-
，
a)，
=（0，0，2
a），
=（3a，
a，0），
设平面PAC的法向量
=（x，y，z），
则
，取y=
，得
=（-1，
，0），
设直线DE与平面PAC所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜
，
＞|=|
|=
，
∴直线DE与平面PAC所成角的大小为30°．
（2）∵D（a，
a，0），E（
a，
a，
a），A（0，0，0），
∴
=（a，
a，0），
=（
a，
a，
a），
设平面EAD的法向量
=(x1，y1，z1)，
则
，
取y1=
，得
=（-3，
，
），
平面ADC的法向量
=(0，0，1)，
设二面角E-AD-C的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜
，
＞|=|
|=
．
∴二面角E-AD-C的余弦值为
．
ABCD平面内垂直过点A且垂直AB的直线为y轴，AP为z轴，
建立空直角坐标系，
∵四棱锥P-ABCD的底面为棱形，且∠DAB=60°，
PA⊥底面ABCD，AB=2a，PA=2
| 3 |
∴D（a，
| 3 |
| 3 |
| 3 |
E（
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
∴
| DE |
| a |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| AP |
| 3 |
| AC |
| 3 |
设平面PAC的法向量
| n |
则
|
| 3 |
| n |
| 3 |
设直线DE与平面PAC所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜
| n |
| DE |
-
| ||||
2•
|
| 1 |
| 2 |
∴直线DE与平面PAC所成角的大小为30°．
（2）∵D（a，
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
∴
| AD |
| 3 |
| AE |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
设平面EAD的法向量
| m |
则
|
取y1=
| 3 |
| m |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
平面ADC的法向量
| p |
设二面角E-AD-C的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜
| m |
| p |
| ||||
|
| ||
| 10 |
∴二面角E-AD-C的余弦值为
| ||
| 10 |
点评：本题考查直线与平面所成角的大小的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
练习册系列答案
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如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（0＜t≤2）左侧的图形的面积为f（t），则集合M={x|x=1+a2，a∈N*}，P={y|y=x2-4x+5，x∈N*}，下列关系中正确的是（ ）
| A、M?P | B、P?M |
| C、M=P | D、M?P且P?M |
已知sinα=
，则cos2（
+
）=（ ）
| 1 |
| 3 |
| α |
| 2 |
| π |
| 4 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
已知复数z=
（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
| i2 |
| 1+i |
| A、第一象限 | B、第二象限 |
| C、第三象限 | D、第四象限 |
设椭圆