Question

在扇形OAB中，∠AOB=120°，P是

AB

上的一个动点，若

OP

=x

OA

+y

OB

，则

1

x

+

1

y

的最小值是（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、2

  2

• D、4

Answer 1

考点：基本不等式

专题：平面向量及应用

分析：由P是

AB

上动点，根据

OP

=x

OA

+y

OB

上的一个动点，可知：0≤x≤1，0≤y≤1．因此当x=y=1时，

1

x

+

1

y

取得最小值．

解答： 解：如图所示，不妨设A（2，0），则B（-1，

3

）．
由P是

AB

上的一个动点，

OP

=x

OA

+y

OB

=x（2，0）+y （-1，

3

）=（2x-y，

3

y）．
∵|

OP

|=2，
∴

(2x-y)2+( 3 y)2

=2，
化为x²-xy+y²=1．
∴当且仅当x=y=1时
∴

1

x

+

1

y

的最小值是2．

点评：本题考查了向量共面定理、向量的坐标运算、最小值问题，属于难题．