Question

已知函数f（x）=ax²-（x-1）²，其中a为实常数．
（1）若对任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1），求a的取值范围；
（2）若关于x的不等式f（x）＞0的解集中恰有两个整数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若对任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1），即ax²-（x-1）²＞a恒成立，即a（x²-1）＞（x-1）²恒成立，即a＜

x-1

x+1

=1-

2

x+1

恒成立，构造函数求出函数的最小值，可得a的取值范围；
（2）若关于x的不等式f（x）＞0的解集中恰有两个整数，可得

a

-1＜0，即a∈（0，1），且

1

1- a

∈（2，3），解得

1

1- a

∈（2，3）．

解答： 解：（1）若对任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1），
即ax²-（x-1）²＞a恒成立，
即a（x²-1）＞（x-1）²恒成立，
即a＜

x-1

x+1

=1-

2

x+1

恒成立，
由y=1-

2

x+1

在（0，1）上为增函数，
当x=0时，y=1-

2

x+1

取最小值-1，
故a≤-1，
（2）不等式f（x）＞0，即ax²-（x-1）²＞0，
即[（

a

+1）x-1]•[（

a

-1）x+1]＞0，
若关于x的不等式f（x）＞0的解集中恰有两个整数，
则

a

-1＜0，即a∈（0，1），
此时不等式的解集为（

1

1+ a

，

1

1- a

），
又∵

1

1+ a

∈（

1

2

，1），解集中恰有两个整数，
故这两个整数必为1，2，
故

1

1- a

∈（2，3），
解得a∈（

1

4

，

4

9

）

点评：本题考查的知识点为二次函数的性质，函数恒成立问题，二次不等式的解集，是函数和不等式的综合应用，难度较大，属于难题．