Question

如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2

6

，高为3．
（1）求这个等腰梯形的外接圆E的方程；
（2）若线段MN的端点N的坐标为（5，2），端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用题目条件求出圆的圆心坐标与半径，即可求这个等腰梯形的外接圆E的方程；
（2）设P（x，y），由于P是MN中点，由中点坐标公式，则M（2x-5，2y-2），利用M是圆上的点代入圆的方程，化简可得P的轨迹方程．

解答： 解：（1）设圆心E（0，b），由EB=EC得b=1，（4分）
所以圆的方程x²+（y-1）²=10（ 6分）
（2）设P（x，y），由于P是MN中点，由中点坐标公式，则M（2x-5，2y-2），（8分）
带入x²+（y-1）²=10，（10分）
化简得(x-

5

2

)2+(y-

3

2

)2=

5

2

（ 12分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，圆的方程的求法，求解圆的方程的关键是求解圆心与半径，轨迹方程的解题关键是相关点的应用，代入法是常见方法．