Question

10．已知函数f（x）=2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^-x+1，则关于x的不等式f（2x+1）+f（x+1）＞2的解集为（　　）

• A． （-$\frac{1}{2017}$，+∞）
• B． （-2017，+∞）
• C． （-$\frac{2}{3}$，+∞）
• D． （-2，+∞）

Answer 1

分析 可先设g（x）=2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^-x，根据要求的不等式，可以判断g（x）的奇偶性及其单调性，容易求出g（-x）=-g（x），通过求g′（x），并判断其符号可判断其单调性，从而原不等式可变成，g（2x+1）＞g（-x-1），而根据g（x）的单调性即可得到关于x的一元一次不等式，解该不等式即得原不等式的解集．

解答 解：设g（x）=2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^-x，
则g（-x）=2017^-x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）-2017^x=-g（x），
g′（x）=2017^xln2017+$\frac{1}{ln2017•\sqrt{{x}^{2}+1}}$+2017^-xln2017＞0，
可得g（x）在R上单调递增；
∴由f（2x+1）+f（x+1）＞2得，g（2x+1）+1+g（x+1）+1＞2；
∴g（2x+1）＞-g（x+1），即为g（2x+1）＞g（-x-1），
得2x+1＞-x-1，
解得x＞-$\frac{2}{3}$，
∴原不等式的解集为（-$\frac{2}{3}$，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查对数的运算，平方差公式，奇函数的判断方法，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，函数单调性定义的运用，并注意正确求导．