Question

18．已知函数f（x）=e^x-$\frac{a}{x}$，a，f（x）为实数．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极值点，且极值大于ln4+2，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出答案，
（2）设极值点为x₀，则极值为f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{a}{{x}_{0}}$，多次构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=e^x-$\frac{a}{x}$的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
∴f′（x）=e^x+$\frac{a}{{x}^{2}}$，
∵a＞0，
∴f′（x）=e^x+$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0恒成立，
∴f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增，
（2）由（1）可知，当a≥0时，f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增，函数无极值点，
当a＜0时，
∵f（x）在（0，+∞）上存在极值点，
∴f′（x）=e^x+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}{e}^{x}+a}{{x}^{2}}$
设g（x）=x²e^x+a，
则g′（x）=xe^x（2+x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）＞g（0）=a＜0，
设极值点为x₀，则极值为f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{a}{{x}_{0}}$，
由g（x₀）=0，得a=-x₀²e${\;}^{{x}_{0}}$．
∴f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{a}{{x}_{0}}$=（x₀+1）e${\;}^{{x}_{0}}$．
令h（x）=（x+1）e^x，
∴h′（x）=（x+2）e^x，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
而f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{a}{{x}_{0}}$=（x₀+1）e${\;}^{{x}_{0}}$＞ln4+2=2（ln2+1）=（ln2+1）e^ln2，
∴x₀＞ln2，
令φ（x）=-x²e^x，
∴x₀＞ln2时吗，φ（x）=-xe^x（2+x）＜0，
∴φ（x）单调递减，
∴a＜-（ln2）²e^ln2=-2ln²2，
∴a的取值范围为（-∞，-2ln²2）．

点评 本题考查函数单调性与导数间的关系及函数取得极值的条件，考查学生分析问题解决问题的能力，属于难题