Question

20．如图，三棱锥P-ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB=BC=2，PA=PB=PC=$\sqrt{6}$．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求平面PBC和平面ABC夹角的正切值．

Answer 1

分析 （1）设O是AC的中点，连接PO，BO，推导出PO⊥AC，PO⊥OB，从而PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC．
（2）设H是BC的中点，连接OH，PH，则∠PHO为平面PBC和平面ABC的夹角，由此能求出平面PBC和平面ABC夹角的正切值．

解答 （本小题满分17分）
证明：（1）如图，设O是AC的中点，连接PO，BO．
∵△ABC为等腰直角三角形，AB=BC=2，∴AC=2$\sqrt{2}$，OB=$\sqrt{2}$．…（3分）
又∵PA=PC=$\sqrt{6}$，∴PO⊥AC，PO=2．…（5分）
∴PO²+BO²=PB²，即PO⊥OB．…（7分）
又∵BO∩AC=O，∴PO⊥平面ABC．
∵PO?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．…（9分）
解：（2）设H是BC的中点，连接OH，PH．
∵O为AC的中点，∴OH∥AB，且OH=$\frac{1}{2}$AB=1．…（12分）
∵AB⊥BC，∴OH⊥BC．又PB=PC，∴PH⊥BC．
∴∠PHO为平面PBC和平面ABC的夹角． …（15分）
在Rt△PHO中，tan∠PHO=$\frac{PO}{OH}$=$\frac{2}{1}$=2，
即平面PBC和平面ABC夹角的正切值为2．…（17分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查面面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．