Question

2．已知抛物线C：x²=2py（p＞0），圆O：x²+y²=1．
（1）若抛物线C的焦点F在圆上，且A为 C和圆 O的一个交点，求|AF|；
（2）若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求|MN|的最小值及相应p的值．

Answer 1

分析 （1）求出F（0，1），得到抛物线方程，联立圆的方程与抛物线方程，求出A的纵坐标，然后求解|AF|．
（2）设M（x₀，y₀），求出切线l：y=$\frac{{x}_{0}}{p}$（x-x₀）+y₀，通过|ON|=1，求出p=$\frac{2{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}-1}$且${{y}_{0}}^{2}$-1＞0，求出|MN|²的表达式，利用基本不等式求解最小值以及p的值即可．

解答 解：（1）由题意得F（0，1），从而有C：x²=4y．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得y_A=$\sqrt{5}$-2，所以|AF|=$\sqrt{5}$-1．…（5分）
（2）设M（x₀，y₀），则切线l：y=$\frac{x0}{p}$（x-x₀）+y₀，
整理得x₀x-py-py₀=0．…（6分）
由|ON|=1得|py₀|=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{p}^{2}}$=$\sqrt{2p{y}_{0}+{p}^{2}}$，
所以p=$\frac{2{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}-1}$且${{y}_{0}}^{2}$-1＞0，…（8分）
所以|MN|²=|OM|²-1=${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$-1=2py₀+${{y}_{0}}^{2}$-1
=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}-1}$+${{y}_{0}}^{2}$-1=4+$\frac{4}{{{y}_{0}}^{2}-1}$+（${{y}_{0}}^{2}$-1）≥8，当且仅当y₀=$\sqrt{3}$时等号成立，
所以|MN|的最小值为2$\sqrt{2}$，此时p=$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线方程的求法，抛物线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．