Question

20．已知函数f（x）=cos²x+sinxcosx-$\frac{1}{2}$，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简函数，即可求函数f（x）的图象的对称轴方程；
（Ⅱ）令$2k{π}-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2k{π}+\frac{π}{2}$，k∈Z，可求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）f（x）在区间$[{0，\;\frac{π}{8}}）$上单调递增，在$（{\frac{π}{8}，\;\frac{π}{2}}]$上单调递减，即可求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）={cos^2}x+sinxcosx-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}sin2x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$------------（4分）
其对称轴方程为$x=\frac{π}{8}+\frac{{k{π}}}{2}$，k∈Z；---------------（6分）
（Ⅱ）令$2k{π}-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2k{π}+\frac{π}{2}$，k∈Z，
得$k{π}-\frac{3π}{8}≤x≤k{π}+\frac{π}{8}$，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为$[{k{π}-\frac{{3{π}}}{8}，k{π}+\frac{π}{8}}]$k∈Z--------（9分）
（Ⅲ）f（x）在区间$[{0，\;\frac{π}{8}}）$上单调递增，在$（{\frac{π}{8}，\;\frac{π}{2}}]$上单调递减，
故f（x）在$x=\frac{π}{2}$时取得最小值为$-\frac{1}{2}$-----------------（12分）

点评 本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．