Question

15．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF⊥PA？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理即可证明：BE∥平面PAD；
（2）棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，利用三垂线定理可得结论．

解答 （1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ．…（1分）
∵E为PC的中点，
∴EQ∥CD且EQ=$\frac{1}{2}$CD．…（2分）
又∵AB∥CD且AB=$\frac{1}{2}$CD，
∴EQ∥AB且EQ=AB．…（3分）
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AQ．…（4分）
又∵BE?平面PAD，AQ?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．…（5分）
（2）解：棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，
∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，
∴AD⊥平面PCD，
∴DP是PA在平面PCD中的射影，
∴PC=DC，PF=DF，
∴CF⊥DP，
∴CF⊥PA．

点评 本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判断，要求熟练掌握相应的判定定理．考查学生的推理能力．