Question

如图已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，点M在AC上，点N在BC₁上，且|AM|=2|MC|，|BN|=2|NC|．
（1）求证：MN||平面DCC₁D₁；
（2）以DA，DC和DD₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，写出M，N点坐标，求出M，N两点间的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,用向量证明平行

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）过M点作ME∥DC交BC于点E，连接NE，证明平面MEN∥平面DCC₁D₁，可得MN∥平面DCC₁D₁；
（2）求出M，N点坐标，即可求出M，N两点间的距离．

解答： （1）证明：过M点作ME∥DC交BC于点E，连接NE，则NE∥CC₁，
于是平面MEN∥平面DCC₁D₁，
∵MN?平面MEN，
∴MN∥平面DCC₁D₁．…6分
（2）解：M（1，2，0），N（1，3，2），
∴M，N两点间的距离为

5

   …6分．

点评：本题考查线面、面面平行，考查学生的计算能力，属于中档题．