Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx在x=1处有极值-2．
（1）求常数a、b；
（2）求曲线y=

f(x)

x

与直线y=x-1所围成图形的面积．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,定积分

专题：导数的综合应用

分析：（1）求f′（x），根据极值的定义即可建立关于a，b的方程组，解方程组即得a，b；
（2）先求出曲线方程：y=x²-3，联立直线方程y=x-1求出x=-1，或2，所以根据定积分的几何意义即得面积为：∫-12[x-1-(x2-3)]，求出这个定积分即可．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，∵函数f（x）在x=1处有极值-2，∴得到：

3+2a+b=0 1+a+b=-2

，解得a=0，b=-3；
（2）y=

f(x)

x

=x2-3，∴解

y=x2-3 y=x-1

得x=-1，或2，画出y=x²-3与y=x-1的图象如下图：
∴曲线y=

f(x)

x

与直线y=x-1所围成图形的面积为：
∫-12（x-1-x²+3）dx=(-

1

3

x3+

1

2

x2+2x)|-12=

9

2

．

点评：考查极值的概念，用定积分求曲线和直线所围成面积．