Question

已知函数f（x）=（ax²+x-1）e^x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）若a=1．求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若a=-1，函数f（x）的图象与函数g（x）=

1

3

x³+

1

2

x²+m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，求出切线的斜率，切点，运用点斜式方程，即可得到；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x），求出导数，求出单调区间，和极值，函数f（x），g（x）的图象有三个交点，即函数h（x）有3个不同的零点，即有h（-1）＜0，且h（0）＞0，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²+x-1）e^x，
∴f′（x）=（2x+1）e^x+（x²+x-1）e^x=（x²+3x）e^x．
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=4e，
∵f（1）=e，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e=4e（x-1），
即4ex-y-3e=0．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x）=（-x²+x-1）e^x-（

1

3

x³+

1

2

x²+m）
则h′（x）=（-2x+1）e^x+（-x²+x-1）e^x-（x²+x）
=-（e^x+1）（x²+x）
令h′（x）＞0得-1＜x＜0，令h′（x）＜0得x＞0或x＜-1．
∴h（x）在x=-1处取得极小值h（-1）=-

3

e

-

1

6

-m，在x=0处取得极大值h（0）=-1-m，
∵函数f（x），g（x）的图象有三个交点，即函数h（x）有3个不同的零点，
∴

h(-1)＜0 h(0)＞0

即

- 3 e - 1 6 -m＜0 -1-m＞0

，
解得：-

3

e

-

1

6

＜m＜-1．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查构造函数，运用导数求极值，考虑极值的正负来判断函数的零点，属于中档题．