Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-cos（2x+

π

3

）-cos²x
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于原点对称，求实数m的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）原式可化为f（x）=2sin（2x-

π

6

）-

1

2

，故根据三角函数的图象和性质可求最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）先写出函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后得到的解析式，图象关于原点对称即有-2m-

π

6

=kπ，从而得解．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x-（cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

）-

cos2x+1

2

=

3

sin2x-cos2x-

1

2

=2sin（2x-

π

6

）-

1

2

，
∴f（x）的最小正周期T=π．
当2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）．
即有kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）时，函数f（x）单调递增，
故所求区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（Ⅱ）函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后得：
g（x）=2sin[2（x-m）-

π

6

]-

1

2

，
要使g（x）的图象关于原点对称，只需要-2m-

π

6

=kπ（k∈Z），
即有m=

k

2

π-

π

12

，所以m的最小值为

5π

12

．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于中档题．