Question

已知1＜2
1+

1

2

＜2

2

1+

1

2

+

1

3

＜2

3

…
观察上述不等式的规律，写出一个关于n的不等式，并用数学归纳法证明你所得的结论．

Answer 1

考点：数学归纳法,不等式的证明

专题：不等式的解法及应用

分析：利用已知条件归纳出不等式，然后利用数学归纳法的证明步骤证明，在证明n=k+1时，方法一是利用基本不等式证明成立，方法二是利用分析法证明n=k+1成立，

解答： 解：关于n的不等式为1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

…..（3分）
下面由数学归纳法证明结论
（1）当n=1时，左边=1，右边=2，显然不等式成立．…..（4分）
（2）假设当n=k，（k≥1）时不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＜2

k

 …..（5分）
当n=k+1时，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＜2

k

+

1

k+1

=

2 k k+1 +1

k+1

…（9分）
下面证明不等式

2 k k+1 +1

k+1

＜2

k+1

．
方法（一）由基本不等式可知：2

k

k+1

＜k+k+1=2k+1，所以

2 k k+1 +1

k+1

＜

2k+1+1

k+1

=2

k+1

…．（13分）
（方法二）要证明

2 k k+1 +1

k+1

＜2

k+1

只需证2

k

k+1

+1＜2(k+1)
即证2

k

k+1

＜2k+1
只需证4k（k+1）＜4k²+4k+1
即证0＜10＜1显然成立，得证             …..（13分）
从而有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＜2

k+1

由（1）（2）可知对于任意的自然数n，（n≥1）不等式均成立．…..（14分）

点评：本题考查归纳推理，数学归纳法的证明方法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．