题目内容
4．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，-2）．（1）求抛物线C的方程；
（2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，求线段MN的长度．
分析 （1）利用抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点A（1，-2），求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）过F作倾斜角为45°的直线l的方程为：y=x-1，联立抛物线，利用弦长公式求线段MN的长度．
解答 解：（1）把点A（1，-2）代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得（-2）2=2p×1，解得p=2．
∴抛物线C的方程为：y2=4x． …（5分）
（2）F（1，0）．
设M（x1，y1），N（x2，y2）．
直线l的方程为：y=x-1． …（7分）
联立抛物线，化为x2-6x+1=0，…（9分）
∴x1+x2=6，x1x2=1．
∴|MN|=$\sqrt{1+1}•\sqrt{36-4}$=8． …12分
点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
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