Question

13．某篮球队规定，在一轮训练中，每人最多可投篮4次，一旦投中即停止该轮训练，否则一直试投到第四次为止．已知一个投手的投篮命中概率为$\frac{3}{4}$，
（Ⅰ）求该选手投篮3次停止该轮训练的概率；
（Ⅱ）求一轮训练中，该选手的实际投篮次数ξ的概率分布和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）该选手投篮3次停止该轮训练即第三次投中事件为A，由相互独立事件乘法概率公式能求出该选手投篮3次停止该轮训练的概率．
（Ⅱ）由题意ξ的可能取值为1、2、3、4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（Ⅰ）该选手投篮3次停止该轮训练即第三次投中事件为A，
概率为P（A）=（1-$\frac{3}{4}$）²•$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{64}$．（4分）
（Ⅱ）由题意ξ的可能取值为1、2、3、4，（5分）
P（ξ=1）=$\frac{3}{4}$，
P（ξ=2）=（1-$\frac{3}{4}$）$•\frac{3}{4}$=$\frac{3}{16}$，
P（ξ=3）=（1-$\frac{3}{4}$）²•$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{64}$，
P（ξ=4）=（1-$\frac{3}{4}$）³$•\frac{3}{4}$+（1-$\frac{3}{4}$）⁴=$\frac{1}{64}$，（11分）
∴ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{3}{4}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{1}{64}$

E（ξ）=1×$\frac{3}{4}$+2×$\frac{3}{16}$+3×$\frac{3}{16}$+4×$\frac{1}{64}$=$\frac{97}{64}$．（13分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．