Question

14．已知命题p：“不等式x²-mx+m+3＞0的解集为R”；命题q：“$\frac{x^2}{m-9}+\frac{y^2}{m+1}=1$表示焦点在y轴上的双曲线”，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 分别化简命题p与q，由于“p∨q”为真，“p∧q”为假，可得p，q一真一假．

解答 解：命题p为真时，等价于判别式△=m²-4（m+3）＜0，即-2＜m＜6．
命题q为真时，等价于$\left\{\begin{array}{l}m+1＞0\\ m-9＜0\end{array}\right.$，即-1＜m＜9．
依题意，p，q一真一假．
当p真，q假时，$\left\{\begin{array}{l}-2＜m＜6\\ m≤-1，或m≥9.\end{array}\right.$即-2＜m≤-1．
当p假，q真时，$\left\{\begin{array}{l}m≤-2，或m≥6\\-1＜m＜9.\end{array}\right.$即6≤m＜9．
综上，m的取值范围是（-2，-1]∪[6，9）．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．