Question

设函数f（x）=e^x+ax-1（e为自然对数的底数），
（1）当a=1时，求在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论的函数f（x）单调性；
（3）若f（x）≥x²在（0，1）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=e^x+x-1，根据导数的几何意义可求得在点（1，f（1））处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程；
（2）分类讨论，利用导数的正负，可得函数f（x）单调性；
（3）将f（x）≥x²在（0，1 ）上恒成立利用参变量分离法转化为a≥

1+x2-ex

x

在（0，1 ）上恒成立，再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=e^x+x-1，f（1）=e，f'（x）=e^x+1，f'（1）=e+1，
函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e=（e+1）（x-1），即y=（e+1）x-1，
（2）∵f（x）=e^x+ax-1，
∴f′（x）=e^x+a，
∴a≥0时，f′（x）＞0，函数在R上单调递增；
a＜0时，在（ln（-a），+∞）上f′（x）＞0，函数单调递增；
在（-∞，ln（-a））上f′（x）＜0，函数单调递减；
（3）由f（x）≥x²得a≥

1+x2-ex

x

，
令h（x）=

1+x2-ex

x

，h′（x）=

(x-1)(x+1-ex)

x2

，
令k（x）=x+1-e^x…（6分）k'（x）=1-e^x，
∵x∈（0，1），∴k'（x）＜0，
∴k（x）在（0，1）上是减函数，∴k（x）＜k（0）=0．
因为x-1＜0，x²＞0，所以，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，1）上是增函数．
所以h（x）＜h（1）=2-e，所以a≥2-e．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题，解决函数恒成立问题常常利用参变量分离法求出参数范围，属于中档题．