Question

已知函数f（x）=x²-2|x|-3．
（Ⅰ）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间；以及在各单调区间上的增减性．
（Ⅱ）求函数f（x）当x∈[-2，4]时的最大值与最小值．

Answer 1

考点：函数图象的作法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）当x≥0时f（x）x²-2x-3，增区间为（1，+∞），减区间为（0，1]，当x＜0时f（x）=x²+2x-3，增区间为（-1，0]，减区间为（-∞，-1]；
（Ⅱ）结合图象可知最小值，f（1）=f（-1）=-4，最大值f（4）=5．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的图象如下图所示：

由图可得：
函数f（x）的单调区间有：（-∞，-1]，（-1，0]，（0，1]，（1，+∞），
函数f（x）的在区间（-∞，-1]，（0，1]上单调递减，
函数f（x）的在区间（-1，0]，（1，+∞]上单调递增．
（Ⅱ） 由图可得：
当x∈[-2，4]时，
当x=±1时，函数f（x）的最小值为-4，
当x=4时，函数f（x）的最大值为5．

点评：带绝对值的函数首先分情况去掉绝对值符号转化为分段函数，第二问求二次函数最值要注意结合函数图象考虑．