Question

下面关于f（x）的判断：
①y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称；
②若f（x）为偶函数，且f（2+x）=-f（x），则f（x）的图象关于直线x=2对称．
③设函数f（x）=lnx，且x₀，x₁，x₂∈（0，+∞），若x₁＜x₂，则

1

x2

＞

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．
④函数f（x）=lnx，x₀，x₁，x₂∈（0，+∞），存在x₀∈（x₁，x₂），（x₁＜x₂），使得

1

x0

=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．
⑤设函数f（x）=x²-3x+4，g(x)=

1

2

x2+4lnx+a．对于?x₁∈[1，e]，总?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围为[1，

5

4

]．
其中正确的判断是

 

（把你认为正确的判断都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：①令x-2=t，易知y=f（t）与y=f（-t）关于直线t=0对称，从而可判断①的正误；
②利用偶函数的性质，结合①的结论可判断②的正误
③不妨设x₁=

1

2

，x₂=1，代入关系式计算，可判断③之正误；
④利用导数的几何意义，数形结合可判断④的正误；
⑤依题意，可求得当x∈[1，e]时，f（x）∈[

7

4

，e²-3e+4]，设g（x）=

1

2

x²+4lnx+a的值域为M，则[

7

4

，e²-3e+4]⊆M，利用函数y=g（x）的单调性解不等式组

g(1)≤ 7 4 g(e)≥e2-3e+4

可判断⑤．

解答： 解：①令x-2=t，则2-x=-t，y=f（t）与y=f（-t）关于直线t=0对称，
∴y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称，故①正确；
②∵f（x）为偶函数，f（2+x）=-f（x），
∴f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x），由①知f（x）的图象关于直线x=2对称，即②正确；
③不妨设x₁=

1

2

，x₂=1，则

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

ln 1 2 -ln1

1 2 -1

=2ln2=ln4＞1=

1

x2

，故③错误；
④f′（x）=

1

x

，f′（x₀）=

1

x0

，表示在x=x₀处的切线的斜率，由图知，过横坐标分别为x₁和x₂的两点的割线
和过曲线上横坐标为x₀的点的切线的斜率可能相等，故④正确；
⑤∵f（x）=x²-3x+4=(x-

3

2

)2+

7

4

，f（1）=2，f（e）=e²-3e+4，
∴当x∈[1，e]时，f（x）∈[

7

4

，e²-3e+4]；
∵对于?x₁∈[1，e]，总?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）=g（x₂），
设当x∈[1，e]时g（x）=

1

2

x²+4lnx+a的值域为M，
则[

7

4

，e²-3e+4]⊆M；
又g′（x）=x+

4

x

＞0，
∴y=g（x）在区间[1，e]上单调递增，
∴

g(1)≤ 7 4 g(e)≥e2-3e+4

，解得

1

2

e²-3e≤a≤

5

4

，故⑤错误；
综上所述，①②④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的对称性、单调性与值域，着重考查导数的几何意义，考查等价转化思想、构造函数思想、数形结合思想与创新思维，属于难题．