Question

已知向量

m

=（cos（x-

π

6

），0），

n

=（2，0），x∈R，函数f（x）=

m

•

n

．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求f（π）的值；
（3）若f（α+

2π

3

）=

6

5

，α∈（-

π

2

，0），求f（2α）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：综合题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）利用向量是数量积公式，可得函数f（x）的表达式；
（2）代入函数f（x）的表达式，可求f（π）的值；
（3）由f（α+

2π

3

）=

6

5

，α∈（-

π

2

，0），求出sinα=-

3

5

，cosα，再利用角的变换，即可求f（2α）的值．

解答： 解：（1）∵

m

=(cos(x-

π

6

)，0)，

n

=(2，0)，x∈R，
∴f(x)=

m

•

n

=2cos(x-

π

6

)，即函数f(x)=2cos(x-

π

6

)．（3分）
（2）f(π)=2cos(π-

π

6

)=-2cos

π

6

=-

3

（6分）
（3）∵f(α+

2π

3

)=2cos(α+

2π

3

-

π

6

)=2cos(α+

π

2

)=-2sinα，
又f(α+

2π

3

)=

6

5

，∴-2sinα=

6

5

，即sinα=-

3

5

．（7分）
∵α∈(-

π

2

，0)，∴cosα=

1-sin2α

=

1-(- 3 5 )2

=

4

5

．（8分）
∴sin2α=2sinαcosα=2×(-

3

5

)×

4

5

=-

24

25

，（9分）
cos2α=2cos2α-1=2×(

4

5

)2-1=

7

25

．（10分）
∴f(2α)=2cos(2α-

π

6

)=2cos2αcos

π

6

+2sin2αsin

π

6

（11分）
=2×

7

25

×

3

2

+2×(-

24

25

)×

1

2

=

7 3 -24

25

．（12分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查同角三角函数关系，考查角的变换，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．