题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点为F，过F作斜率为
b
a
的直线与椭圆交于A，B两点，若|FB|≥2|FA|，则椭圆的离心率e的取值范围是
 
．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设椭圆的右准线为l，设A、B两点在l上的射影分别为C、D，连接AC、BD，过点B作BG⊥AC利用圆锥曲线的统一定义，再结合直角△ABG中，tan∠BAG=
b
a
，可求出边之间的长度之比，可得离心率的取值范围．
解答： 解：如图，设椭圆的右准线为l，过A点作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，
在直角△ABG中，tan∠BAG=
b
a
，∴AB=
2-e2
AG，…①
由圆锥曲线统一定义得：e=
AF
AC
=
BF
BD
，
∵|FB|≥2|AF|，∴|BD|≥2|AC|，
在直角梯形ABDC中，AG=BD-AC=AC，…②
由①、②可得AB=
2-e2
AC，
又∵|AF|≤
1
3
AB=
1
3
2-e2
AC，
∴e=
|AF|
|AC|
≤
1
3
2-e2
，
∴0＜e≤
5
5
，
故答案为：0＜e≤
5
5
．
点评：本题考查圆锥曲线的统一定义的应用，结合解含有tan∠BAG=
b
a
的直角三角形，求椭圆的离心率，属于几何方法，运算量小，方便快捷．
练习册系列答案
相关题目
向边长分别为5，6，
13
的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（　　）
A、1-
π
18
B、1-
π
12
C、1-
π
9
D、1-
π
4
某工厂生产A，B两种元件，已知生产A元件的正品率为75%，生产B元件的正品率为80%，生产1个元件A，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个元件B，若是正品则盈利40元，若是次品则亏损5元．
（Ⅰ）求生产5个元件A所得利润不少于140元的概率；
（Ⅱ）设X为生产1个元件A和1个元件B所得总利润，求X的分布列和数学期望．
某校对高一年级8个班参加合唱比赛的得分进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数和平均数分别是
 
．
下面关于f（x）的判断：
①y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称；
②若f（x）为偶函数，且f（2+x）=-f（x），则f（x）的图象关于直线x=2对称．
③设函数f（x）=lnx，且x0，x1，x2∈（0，+∞），若x1＜x2，则
1
x2
＞
f(x1)-f(x2)
x1-x2
．
④函数f（x）=lnx，x0，x1，x2∈（0，+∞），存在x0∈（x1，x2），（x1＜x2），使得
1
x0
=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
．
⑤设函数f（x）=x2-3x+4，g(x)=
1
2
x2+4lnx+a．对于?x1∈[1，e]，总?x2∈[1，e]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为[1，
5
4
]．
其中正确的判断是
 
（把你认为正确的判断都填上）
在1个单位长度的线段AB上任取一点P，则点P到A、B两点的距离都不小于
1
6
的概率为
 
．
（理科做）直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=DC=2，BC=1，∠ADC=90°，下列结论：
①该直棱柱的体积一定是6
②用一平面去截直四棱柱，截面可能为三角形，四边形，五边形和六边形；
③M∈平面ABCD，D1M⊥平面A1C1D，则DM=2
2
；
④M∈平面ABCD，D1M⊥平面A1C1D，设D1M∩平面A1C1D=O，则
OC1
+
OA1
=
DO
；
⑤M∈平面ABCD，D1M⊥平面A1C1D，设D1M∩平面A1C1D=O，则D1O：OM=1：2；
其中你认为正确的所有结论的序号是
 
．（写出所有正确命题的编号）
若实数x，y满足
y≥0
x-2y≥0
x-y-2≥0
，则实数m=
y-1
x+1
的取值范围是（　　）
A、（-1，1）
B、[-1，1）
C、（-
1
3
，
1
2
）
D、[-
1
3
，
1
2
）
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=-2．
（1）求此抛物线的方程；
（2）已知点B（-1，0），设直线l：y=kx+b（k≠0）与抛物线C交于不同的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点，并求出该定点坐标．

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