Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点P为椭圆上一点，过P作左准线的垂线，垂足为Q，若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率的范围是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由已知条件，利用椭圆的性质得到PQ=

PF

e

=FA，由此能推导出

1-e

1+e

＜e＜1，从而能求出椭圆的离心率的范围．

解答： 解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，
点P为椭圆上一点，过P作左准线的垂线，垂足为Q，
四边形PQFA为平行四边形，
∴PQ=

PF

e

=FA，
PF=eFA=e（a+c），
∵a-c＜PF＜a+c，
∴a-c＜e（a+c）＜a+c，
∴

a-c

a+c

＜e＜1，
∴

1-e

1+e

＜e＜1，
∴

1-e 1+e ＜e e＜1

，解得：

2

-1＜e＜1．
∴椭圆的离心率的范围是（

2

-1，1）．
故答案为：（

2

-1，1）．

点评：本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，要熟练掌握椭圆的基本性质．