Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=6，AB=5，AD=4，在空间直角坐标系中，A₁在z轴上运动，A在平面xOy上运动，则OC的最大值为

 

．

Answer 1

考点：空间两点间的距离公式

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：按题意：直线AC垂直于直线A₁A，三角形为AOA₁为直角三角形，O点是坐标原点，当A₁AOC在同一个平面时C到O的距离比较大，设出∠A₁AO=θ，表示出OC，即可利用三角函数的最值求出最大值．

解答： 解：∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=6，AB=5，AD=4，在空间直角坐标系中，A₁在z轴上运动，A在平面xOy上运动，
如图：直线AC垂直于直线A₁A，三角形为AOA₁为直角三角形，O点是坐标原点，当A₁AOC在同一个平面时C到O的距离比较大，设出∠A₁AO=θ，
∴AO=

AB2+BC2

=

41

，OA=6cosθ，过P做平面α的垂线，垂足为P，则AP=

41

sinθ，CP=

41

cosθ，
∴OC²=（6cosθ+

41

sinθ）²+（

41

cosθ）²=59+18cos2θ+6

41

sin2θ．
OC=

59+1800sin(2θ+β)

，tanβ=

3

41

，
∴OC的最大值为：

59+30 2

．
故答案为：

59+30 2

．

点评：本题考查空间想象能力，求出C与A₁AO在同一个平面时C到O的距离求出最大值是解题的关键，考查三角函数的最值的求法，考查计算能力．