Question

将函数y=

1

x

的图象绕原点顺时针旋转45°后可得到双曲线x²-y²=2．据此类推得函数y=

4x

x-1

的图象的焦距为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由于y=

4x

x-1

=4+

4

x-1

，双曲线y=

4x

x-1

的图象可由y=

4

x

进行形状不变的变换而得，从而得到双曲线y=

4x

x-1

的图象与双曲线y=

4

x

的图象全等，它们的焦距相同，又根据题意得：将双曲线x²-y²=8绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y=

4

x

．故只须求出双曲线x²-y²=8的焦距即可．

解答： 解：∵y=

4x

x-1

=4+

4

x-1

，
∴双曲线y=

4x

x-1

的图象可由y=

4

x

进行形状不变的变换而得，
∴双曲线y=

4x

x-1

的图象与双曲线y=

4

x

的图象全等，它们的焦距相同，
根据题意：函数y=

1

x

的图象绕原点顺时针旋转45°后可得到双曲线x²-y²=2．
类比可得：将双曲线x²-y²=8绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y=

4

x

．
而双曲线x²-y²=8的a=b=

8

，c=4，
∴焦距为2c=8，
故答案为：8．

点评：本小题主要考查旋转变换、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．属于中档题．