Question

已知椭圆

x2

9

+

y2

4

=1，在椭圆上是否存在点P（x，y）到到定点A（a，0）的距离的最小值为1？若存在，求出a的值及P点的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设存在点P（x，y）满足题设条件，由

x2

9

+

y2

4

=1，得y²=4（1-

x2

9

），结合题设条件能够推导出|AP|²=

5

9

（x-

9

5

a）²+4-

4

5

a²（|x|≤3），分类讨论，由此可以求出a的值及点P的坐标．

解答： 解：设存在点P（x，y）满足题设条件，
由

x2

9

+

y2

4

=1，得y²=4（1-

x2

9

）
∴|AP|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+4（1-

x2

9

）=

5

9

（x-

9

5

a）²+4-

4

5

a²（|x|≤3），
当|

9

5

a|≤3即0＜a≤

5

3

时，|AP|²的最小值为4-

4

5

a²
∴4-

4

5

a²=1⇒a=±

15

2

∉（0，

5

3

]
∴

9

5

a＞3即

5

3

＜a＜3，此时当x=3时，|AP|²的最小值为（3-a）²
∴（3-a）²=1，即a=2，此时点P的坐标是（3，0）
故当a=2时，存在这样的点P满足条件，P点的坐标是（3，0）．

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查配方法的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．