Question

已知在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且

a

cosA

=

b+c

cosB+cosC

，当a=2时，S_△ABC=

3

，则b=

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：根据正弦定理和两角和差的正弦公式，化简条件得到A=60°，利用三角形的面积公式和余弦定理建立方程关系即可求出b的值．

解答： 解：∵

a

cosA

=

b+c

cosB+cosC

，
∴acosB+acosC=bcosA+ccosA，
由正弦定理可得sinAcosB+sinAcosC=sinBcosA+sinCccosA，
即sinAcosB-sinBcosA=sinCccosA-sinAcosC，
即sin（A-B）=sin（C-A），
∵△ABC是锐角三角形，
∴A-B=C-A，
即2A=B+C，∴A=60°，
∵S_△ABC=

3

=

1

2

bcsin60°=

1

2

bc×

3

2

，
∴bc=4，
∵a=2，
∴由余弦定理得a²=b²+c²-2bccos60°，
即4=b²+c²-2×4×

1

2

，
∴b²+c²=8，
解得b=c=2．
故答案为：2．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握相应的定理以及三角形的面积公式．考查学生的计算能力．