Question

已知各项均不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=-

1

3

(an-1)(n∈N*)．
（1）求a₁、a₂的值；
（2）证明数列{a_n}是等比数列；
（3）若bn=anlog

1

4

an，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，分别取n=1和n=2，利用递推思想能求出a₁、a₂的值．
（2）依次求出前4项，总结规律，由此猜想an=

1

4n

．再用数学归纳法证明，由此得到数列{a_n}是首项和公比都是

1

4

的等比数列．
（3）由bn=anlog

1

4

an=

n

4n

，利用错位相减求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： （1）解：∵各项均不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，
且Sn=-

1

3

(an-1)(n∈N*)，
∴a1=S1=-

1

3

(a1-1)，解得a1=

1

4

．
S2=

1

4

+a2=-

1

3

(a2-1)，解得a₂=

1

16

．
（2）证明：S3=

5

16

+a3=-

1

3

（a₃-1），解得a3=

1

64

，
S₄=

21

64

+a4=-

1

3

（a₄-1），解得a4=

1

256

．
由此猜想an=

1

4n

．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，an=

1

4

，成立．
②假设n=k时成立，即ak=

1

4k

，
则当n=k+1时，
Sk+1=

1

4

+

1

42

+…+

1

4k

+ak+1=-

1

3

（a_k+1-1），
∴

1 4 (1- 1 4k )

1- 1 4

+a_k+1=-

1

3

（a_k+1-1），
解得ak+1=

1

4k+1

，也成立．
∴an=

1

4n

．
∴数列{a_n}是首项和公比都是

1

4

的等比数列．
（3）解：bn=anlog

1

4

an=

1

4n

•log

1

4

(

1

4n

)=

n

4n

，
∴T_n=

1

4

+

2

42

+

3

43

+…+

n

4n

，①

1

4

Tn=

1

42

+

2

43

+

3

44

+…+

n

4n+1

，②
①-②，得：

3

4

Tn=

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

-

n

4n+1

=

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

-

n

4n+1

=

1

3

(1-

1

4n

)-

n

4n+1

，
∴T_n=

4

9

-

4+n

9•4n

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．