Question

设函数f（x）=xsinx+cosx（-3π＜x＜3π）
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数y=f（x）在区间（-3π，3π）上的极值之和．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的故选即可求函数的单调区间；
（2）根据函数极值和导数之间的故选，即可求函数y=f（x）在区间（-3π，3π）上的极值之和．

解答： 解：（1）∵f（x）=xsinx+cosx
∴f′（x）=（xsinx+cosx）′=（xsinx）′+（cosx）′=x′sinx+x（sinx）′-sinx
=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
当0≤x＜3π时，由f′（x）=0，即xcosx=0，即x=0或cosx=0，解得x=0或x=

π

2

，或x=

3π

2

或x=

5π

2

列表：

x	0	（0， π 2 ）	π 2	（ π 2 ， 3π 2 ）	3π 2	（ 3π 2 ， 5π 2 ）	5π 2	（ 5π 2 ，3π）	3π
f′（x）	0	+	0	-	0	+	0	-
f（x）	1	递增	极大	递减	极小	递增	极大	递减

则函数f（x）在0≤x＜3π上的单调增区间为（0，

π

2

），（

3π

2

，

5π

2

），
单调递减区间为（

π

2

，

3π

2

），（

5π

2

，3π），
∵f（-x）=xsinx+cosx=f（x），
∴f（x）是偶函数，
则函数f（x）=xsinx+cosx（-3π＜x＜3π）的单调增区间为（0，

π

2

），（

3π

2

，

5π

2

），
（-

3π

2

，-

π

2

），（-3π，-

5π

2

），
单调递减区间为（

π

2

，

3π

2

），（

5π

2

，3π），（-

π

2

，0），（-

5π

2

，-

3π

2

）．
（2）∵f（x）是偶函数，
∴由（1）知对应的极值之和为2（

π

2

+

3π

2

+

5π

2

）=9π．

点评：本题主要考查函数单调性和极值的求解，利用导数研究函数的性质是解决本题的关键，运算量较大．