Question

在极坐标系中，动点P（ρ，θ）运动时，ρ与sin^2（

θ

2

+

π

4

）成反比，动点P的轨迹经过点（2，0）．
（1）求动点P的轨迹的坐标方程；
（2）将（1）中极坐标方程化为直角坐标方程，并指出轨迹是何种曲线．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）设ρ=

k

sin2( θ 2 + π 4 )

，把点（2，0）代入求得k的值，可得动点P的轨迹的坐标方程，化简可得结果．
（2）由于ρ+ρsin θ=2根据x=ρcosθ、y=ρsinθ化为直角坐标方程，整理可得结论．

解答： 解：（1）设ρ=

k

sin2( θ 2 + π 4 )

，把点（2，0）代入可得 2=

k

sin2(0+ π 4 )

，求得k=1，
∴动点P的轨迹的坐标方程为 ρ=

1

sin2( θ 2 + π 2 )

=

1

1+cos(θ+ π 2 ) 2

=

2

1+sinθ

．
（2）∵ρ+ρsin θ=2，∴

x2+y2

+y=2．整理得y=-

1

4

x²+1．
∴轨迹为开口向下，顶点为（0，1）的抛物线．

点评：本题主要考查求简单曲线的极坐标方程，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．