Question

已知a_n=4ⁿ+15n-1（n∈N^*）．
（1）计算a₁，a₂，a₃；猜想是否存在最大的正整数m，使得a_n能被m整除；
（2）运用数学归纳法证明（1）中猜想的结论．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用a_n=4ⁿ+15n-1，计算a₁，a₂，a₃；因为3个数的最大公约数为9，所以可猜想存在最大的正整数m，使得a_n能被m整除；
（2）用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设n=k（k∈N^*）时结论成立，即4^k+15k-1能被9整除，则当n=k+1时，由条件可得当n=k+1时，也成立，从而猜想仍然成立．

解答： 解：（1）计算a₁=18=9×2，a₂=45=9×5，a₃=108=9×12；    …3分
因为3个数的最大公约数为9，
猜想存在最大的正整数m=9，能使得a_n=4ⁿ+15n-1（n∈N^*）能被m整除．…6分
（2）数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=18=9×2，能被9整除，结论成立；            …7分
②假设n=k（k∈N^*）时结论成立，即4^k+15k-1能被9整除         …9分
则当n=k+1时，a_k+1=4^k+1+15（k+1）-1
变形a_k+1=4•4^k+15k+14=4（4^k+15k-1）-45k+18∴a_k+1=4（4^k+15k-1）+9（2-5k）…11分
因为由假设结论可知4^k+15k-1能被9整除，又因为9（2-5k）也能被9整除   …12分
所以a_k+1=4^k+1+15（k+1）-1也能被9整除
所以则当n=k+1时，结论成立                     …14分
由①②可知，对任意n∈N^*，都有a_n能被9整除成立．…15分．

点评：本题主要考查数学归纳法的应用，用归纳法证明数学命题时的基本步骤：（1）检验n=1成立（2）假设n=k时成立，由n=k成立推导n=k+1成立，要注意由归纳假设到检验n=k+1的递推．