Question

已知数列{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是等比数列，函数f（x）=b₁x²+b₂x+b₃的图象在y轴上的截距为-4，其最大值为a₆-

7

2

．
（Ⅰ）求a₆的值；
（Ⅱ）若d≠0且f（a₂+a₈）=f（a₃+a₁₁），求数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅲ）设T_n=

1

a6a7

+

1

a7a8

+…+

1

anan+1

（n≥6），若T_n的最小值为2，求d的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由于函数f（x）=b₁x²+b₂x+b₃的图象在y轴上的截距为-4，其最大值为a₆-

7

2

．可得b₃=-4，且当x=-

b2

2b1

时，函数f（x）取得最大值

4b1b3- b 2 2

4b1

=b₃-

1

4

b3=a6-

7

2

，解得a₆．
（Ⅱ）由f（a₂+a₈）=f（a₃+a₁₁），可得

a2+a8+a3+a11

2

=-

b2

2b1

．化为-

b2

2b1

=

4a6

2

，即可解得

b2

b1

．
（Ⅲ）T_n=

1

a6a7

+

1

a7a8

+…+

1

anan+1

=

1

d

[(

1

a6

-

1

a7

)+(

1

a7

-

1

a8

)+…+(

1

an

-

1

an+1

)]=

1

d

(

1

a6

-

1

an+1

)=

4(n-5)

1+2(n-5)d

，可知：当n=6时，T_n取得最小值

4

1+2d

=2，解得d即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=b₁x²+b₂x+b₃的图象在y轴上的截距为-4，其最大值为a₆-

7

2

．
∴b₃=-4，当x=-

b2

2b1

时，函数f（x）取得最大值

4b1b3- b 2 2

4b1

=b₃-

1

4

b3=-4+1=-3=a6-

7

2

，
解得a₆=

1

2

．

（Ⅱ）∵f（a₂+a₈）=f（a₃+a₁₁），
∴

a2+a8+a3+a11

2

=-

b2

2b1

．∴-

b2

2b1

=

4a6

2

=2a₆=1，
∴公比q=

b2

b1

=-2．
∴数列{b_n}的通项公式b_n=b3•qn-3=-4×（-2）^n-3=-（-2）^n-1．

（Ⅲ）T_n=

1

a6a7

+

1

a7a8

+…+

1

anan+1

=

1

d

[(

1

a6

-

1

a7

)+(

1

a7

-

1

a8

)+…+(

1

an

-

1

an+1

)]=

1

d

(

1

a6

-

1

an+1

)=

1

d

[

1

1 2

-

1

1 2 +(n-5)d

]=

4(n-5)

1+2(n-5)d

，
当n=6时，T_n取得最小值

4

1+2d

=2，解得d=

1

2

．

点评：本题综合考查了二次函数的性质、等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．