Question

已知函数f（x）满足f(x)=f(

1

x

)，且当x∈[

1

e

，1]时，f（x）=lnx，若当x∈[

1

e

，e]时，函数g（x）=f（x）-ax与x轴有两个相异交点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[-e，0）
• B、[-e，0]
• C、[-

  1

  e

  ，0)
• D、[-e，-

  1

  e

  ]

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意先求出设x∈[1，e]上的解析式，再用分段函数表示出函数f（x），根据对数函数的图象画出函数f（x）的图象，根据图象求出函数g（x）=f（x）-ax与x轴有两个相异交点时实数a的取值范围．

解答： 解：设x∈[1，e]，则

1

x

∈[

1

e

，1]，
因为f(x)=f(

1

x

)，且当x∈[

1

e

，1]时f（x）=lnx，
所以f(x)=f(

1

x

)=ln

1

x

=-lnx，
则f（x）=

lnx，x∈[ 1 e ，1] -lnx，x∈(1，e]

，
在坐标系中画出函数f（x）的图象如图：
因为函数g（x）=f（x）-ax与x轴有两个相异交点，
所以直线y=ax与函数f（x）的图象有两个交点，
由图得，直线y=ax处在x轴和直线OA之间与函数f（x）的图象有两个交点，
且直线OA的斜率是-

1

e

，
所以实数a的取值范围是：[-

1

e

，0)，
故选：C．

点评：本题考查了方程的根的存在性以及根的个数的判断，解答此题的关键是利用数形结合，使复杂的问题简单化．