Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，记A（k）=a₁+a₂+…+a_k，B（k）=a₂+a₃+…+a_k+1C（k）=a₃+a₄+…+a_k+2
（1）若a_n=

1

3n

+

1

(-5)n

，求

lim

n→∞

B（n）；
（2）若a₁=1，a₂=5，且对任意k∈N^*，B（k）都是A（k）与C（k）的等差中项，求数列{a_n}的通项公式；
（3）已知命题：“若数列{a_n}是公比为q的等比数列，则对任意k∈N^*，A（k），B（k），C（k）都是公比为q的等比数列”是真命题，试写出该命题的逆命题，判断真假，并证明．

Answer 1

考点：数列的极限,复合命题的真假

专题：证明题,等差数列与等比数列,简易逻辑

分析：（1）首项利用分组求和法得到B（k）=a₂+a₃+…+a_k+1=（

1

32

+

1

33

+…+

1

3k+1

）+（

1

(-5)1

+

1

(-5)2

+…+

1

(-5)k+1

），再利用无穷递缩等比数列的和的极限公式即可求得答案；
（2）写出原命题：“若数列{a_n}是公比为q的等比数列，则对任意k∈N^*，A（k），B（k），C（k）都是公比为q的等比数列”的逆命题，判断其为真命题，再证明即可．

解答： 解：（1）∵a_n=

1

3n

+

1

(-5)n

，B（k）=a₂+a₃+…+a_k+1=（

1

32

+

1

33

+…+

1

3k+1

）+（

1

(-5)1

+

1

(-5)2

+…+

1

(-5)k+1

）
∴

lim

n→∞

B（n）=

1 9

1- 1 3

+

1 25

1+ 1 5

=

1

5

…3分
（2）对任意k∈N^*，A（k）、B（k）、C（k）是等差数列，所以B（k）-A（k）=C（k）-B（k），即a_k+1-a₁=a_k+2-a₂，∴a_k+2-a_k+1=a₂-a₁=4，
故数列{a_n}是以1为首项，4为公差的等差数列，于是a_n=1+（n-1）×4=4n-3…6分
（3）逆命题：“若对任意k∈N^*，A（k），B（k），C（k）都是公比为q的等比数列，则数列{a_n}是公比为q的等比数列”该命题为真命题，证明如下：
∵对任意k∈N^*，三个数A（k），B（k），C（k）都是公比为q的等比数列，则B（k）=qA（k），C（k）=qB（k），从而C（k）-B（k）=q[B（k）-A（k）]，
∴a_k+2-a₂=q（a_k+1-a₁），即a_k+2-qa_k+1=a₂-qa₁，…9分
由n=1有B（1）=qA（1），即a₂-qa₁，从而a_k+2-qa_k+1=a₂-qa₁=0，因为a_k＞0，
所以，

ak+2

ak+1

=

a2

a1

=q，故数列{a_n}是公比为q的等比数列，得证…12分

点评：本题考查数列的极限，考查数列的分组求和与公式法求和，考查等差数列的关系的确定与等比数列的性质的应用，考查推理证明能力，是难题．