Question

（理科做）直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=DC=2，BC=1，∠ADC=90°，下列结论：
①该直棱柱的体积一定是6
②用一平面去截直四棱柱，截面可能为三角形，四边形，五边形和六边形；
③M∈平面ABCD，D₁M⊥平面A₁C₁D，则DM=2

2

；
④M∈平面ABCD，D₁M⊥平面A₁C₁D，设D₁M∩平面A₁C₁D=O，则

OC1

+

OA1

=

DO

；
⑤M∈平面ABCD，D₁M⊥平面A₁C₁D，设D₁M∩平面A₁C₁D=O，则D₁O：OM=1：2；
其中你认为正确的所有结论的序号是

 

．（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：①由于底面积的大小不确定，因此其体积也不确定；
②其截面可能为三角形，四边形，五边形和六边形；
③建立如图所示的空间直角坐标系，可设M（x，y，2），利用D₁M⊥平面A₁C₁D，可得

D1M • A1C1 =0 D1M • A1D =0

，
解出即可；
④由③可知：M（2，2，2），点O为线段D₁M的中点，即为等边三角形A₁C₁D的中心．
由重心定理即可得出；
⑤由④即可判断出．

解答： 解：如图所示，
①由于底面积的大小不确定，因此其体积也不确定，故该直棱柱的体积一定是6不正确；
②用一平面去截直四棱柱，截面可能为三角形，四边形，五边形和六边形，正确；
③建立如图所示的空间直角坐标系，D₁（0，0，0），A₁（2，0，0），
C₁（0，2，0），D（0，0，2）．
则

A1C1

=（-2，2，0），

A1D

=（-2，0，2），
∵M∈平面ABCD，可设M（x，y，2），则

D1M

=（x，y，2）．
∵D₁M⊥平面A₁C₁D，∴

D1M • A1C1 =0 D1M • A1D =0

，即

-2x+2y=0 -2x+4=0

，解得

x=2 y=2

．
∴M（2，2，2），∴|DM|=

22+22+0

=2

2

，因此正确；
④M∈平面ABCD，D₁M⊥平面A₁C₁D，设D₁M∩平面A₁C₁D=O，
由③可知：M（2，2，2），点O为线段D₁M的中点，即为等边三角形A₁C₁D的中心．
由重心定理可得：

OC1

+

OA1

=

DO

，因此正确；
⑤M∈平面ABCD，D₁M⊥平面A₁C₁D，设D₁M∩平面A₁C₁D=O，则D₁O：OM=1：2，由④可知不正确．
综上可知：只有②③④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查了通过建立空间直角坐标系解决线面垂直的问题、正方体的性质、等边三角形的重心与中心的性质等基础知识与基本技能方法，考查了空间想象能力和推理能力，属于难题．