Question

如图，已知点F是抛物线C：y²=x的焦点，S是抛物线C在第一象限内的点，且|SF|=

5

4

．
（1）求点S的坐标；
（2）以S为圆心的动圆与x轴分别交于两点A，B，直线SA，SB分别交抛物线C于M，N两点，求直线MN的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设S（x₀，y₀）（y₀＞0），由已条件推导出|SF|=x₀+

1

4

=

5

4

，由此能求出S点的坐标．
（2）设直线SA的方程为y-1=k（x-1），M（x₁，y₁），由

y-1=k(x-1) y2=x

，求出M点坐标，设直线SB的斜率为-k，同理求出N点坐标，由此能求出直线MN的斜率．

解答： 解：（1）设S（x₀，y₀）（y₀＞0），
∵点F是抛物线C：y²=x的焦点，
S是抛物线C在第一象限内的点，且|SF|=

5

4

．
∴F（

1

4

，0），∴|SF|=x₀+

1

4

=

5

4

，
∴x₀=1，∴y₀=1，
∴S点的坐标为（1，1）．
（2）设直线SA的方程为y-1=k（x-1）（k≠0），
M（x₁，y₁），由

y-1=k(x-1) y2=x

，得ky²-y+1-k=0，
解得：y₁=1（舍），或y₁=

1

k

-1，
∴M（

(1-k)2

k2

，

1

k

-1），
又由已知|SA|=|SB|得，直线SA与SB的斜率互为相反数，
∴直线SB的斜率为-k，同理得N（

(1+k)2

k2

，-

1

k

-1），
∴KMN=

1 k -1+ 1 k +1

(1-k)2 k2 - (1+k)2 k2

=-

1

2

．
∴直线MN的斜率为-

1

2

．

点评：本题考查抛物线上满足条件的点的坐标的求法，考查直线的斜率的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．